ຮູບສາມແຈ

ຈາກ ວິກິພີເດຍ

ຮູບສາມແຈແມ່ນ ຮູບຮ່າງພື້ນຖານໜຶ້່ງ ໃນ ເລຂາຄະນິດ: ແມ່ນ ຮູບຫຼາຍແຈ ທີ່ມີ 3 ແຈ ແລະ ສາມຂ້າງ ທີ່ຕິດຕໍ່ກັນ ດ້ວຍເສັ້ນ (ຄະນິດສາດ). ຮູບສາມແຈ ທີ່ ປະກອບດ້ວຍ ມຸມ A, B, ແລະ C ຈະສາມາດສະແດງໄດ້ ດ້ວຍເຄື່ອງໝາຍ △ABC.ໃນ ເລຂາຄະນິດຢູຄລິດ ສາມ ເມັດ ທີ່ບໍ່ນອນໃນເສັ້ນຊື່ດຽວກັນໃດໜຶ່ງ ຈະປະກອບເປັນ ຮູບສາມແຈ ທີ່ແນ່ນອນພຽງອັນດຽວເທົ່ານັ້ນ.

ຮູບສາມແຈ.

ປະເພດຂອງຮູບສາມແຈ[ດັດແກ້]

ຮູບສາມແຈສາມາດ ແບ່ງ ຕາມຄວາມສຳພັນ ຂອງ ຄວາມຍາວແຕ່ລະຂ້າງ:

ຮູບສາມແຈສະເໝີ ຮູບສາມແຈທ່ຽງ ຮູບສາມແຈທົ່ວໄປ
Equilateral Isosceles Scalene

ຮູບສາມແຈຍັງສາມາດແບ່ງຕາມຂະໜາດຂອງມຸມ:

ຮູບສາມແຈສາກ

ຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່[ດັດແກ້]

ສູດຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຮູບສາມແຈ ແມ່ນ :

S=\frac{1}{2}bh

ໂດຍທີ່ S ແມ່ນເນື້ອທີ່, b ແມ່ນລວງຍາວພື້ນ ແລະ h ໄລຍະຫ່າງແຕ່ມຸມຫາພື້ນ.

ໃຊ້ເວັກເຕີ[ດັດແກ້]

ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈ ABC ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍ:


\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \, .
ໃຊ້ໄຕມຸມມິຕິ ເພື່ອຄິດໄລ່ ລວງສູງ h.

ໃຊ້ໄຕມຸມມິຕິ[ດັດແກ້]

ເນື້ອທີ່ຂອງ ຮູບສາມແຈ ແມ່ນ:

S =  \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta.

ແຕ່ເນື່ອງຈາກວ່າ sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), ແລະເຊັ່ນດຽວກັນກັບສອງມຸມອື່ນ:

S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).

ໃຊ້ໂຕປະສານ[ດັດແກ້]

S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.

ສຳຫຼັບໂຕປະສານທົ່ວໄປ:

S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|
S= \frac{1}{2} \big| (x_C - x_A) (y_B - y_A) - (x_B - x_A) (y_C - y_A) \big|.

ໃນສາມມິຕິ ເນື້ອທີ່ຂອງຮູບສາມແຈທົ່ວໄປ {A = (xAyAzA), B = (xByBzB) ແລະ C = (xCyCzC)} ແມ່ນ ຜົນບວກປີຕາກໍ ຂອງ ເນື້ອທີ່ເງົາສາຍ ຢູ່ ແຕ່ລະໜ້າພຽງ (i.e. x = 0, y = 0 and z = 0):

S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }.

ໃຊ້ສູດເຮຣອນ[ດັດແກ້]

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

ໂດຍທີ່ s = ½ (a + b + c) ແມ່ນ ລວງຮອບຂອງຮູບສາມແຈຫານສອງ..

ວິທີຂຽນສູດເຮຣອນສາມແບບ

 S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}
 S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
 S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.

ຊິນ ແລະ ໂກຊິນ[ດັດແກ້]

ຮູບສາມແຈ ທີ່ມີຂ້າງ a, b ແລະ c ແລະ ມຸມ α, β ແລະ γ ຕາມລຳດັບ.

ຊິນ

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

ສຳຫຼັບ ຮູບສາມແຈ ທີ່ ລວງຍາວຂ້າງ a, b, c ແລະ ມຸມ \alpha, \beta, \gamma respectively, ຖ້າຮູບລວງຍາວ ຂອງ ສອງຂ້າງa and b, ແລະ ມຸມລະຫວ່າງສອງຂ້າງນັ້ນ \gamma (ຫຼື ມຸມກົງກັນຂ້າມກັບ ຂ້າງທີ່ບໍ່ຮູ້ c), ຂ້າງທີ່ສາມ c, ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍ ສູດດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) \implies b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta) \implies a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)

ຊິນ, ໂກຊິນ ແລະ ຕັງຊັງ[ດັດແກ້]

ຊິນ

\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}\,.

ໂກຊິນ

\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}\,.

ຕັງຊັງ

\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}\,.

ຕຳລາປີ້ນ[ດັດແກ້]

ອາກຊິນ

\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right).

ອາກໂກຊ

\theta = \arccos \left( \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \right).

ອາກຕັງ

\theta = \arctan \left( \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \right).

ຫົວຂໍ້ກ່ຽວຂ້ອງ[ດັດແກ້]